Domácí úkol 7 (10. 11. 2025)#
Příklad 1#
Mějme grupu \((M , +)\), kde \(M\) je množina všech čtvercových matic typu \(2 \times 2\) nad \(\mathbb{R}\) (tj. \(M=\left\lbrace\left( \begin{array}{cc} a & b\\c & d\end{array} \right) | a,b,c,d\in\mathbb{R}\right\rbrace\)) a operace \(+\) je sčítání matic. Zjistěte, zda následující podmnožiny množiny \(M\) jsou nosiče podgrup grupy \((M, +)\):
a) \(A=\left\lbrace\left( \begin{array}{cc} a & b\\0 & c\end{array} \right) | a,b,c\in\mathbb{R}\right\rbrace\),
b) \(B=\left\lbrace\left( \begin{array}{cc} a & b\\1 & c\end{array} \right) | a,b,c\in\mathbb{R}\right\rbrace\),
c) \(C=\left\lbrace\left( \begin{array}{cc} a & b\\c & d\end{array} \right) | ad-bc \neq 0; a,b,c,d\in\mathbb{R}\right\rbrace\) (tj. pouze takových matic, jejichž prvky \(a,b,c,d\) splňují následující podmínku: \(ad-bc \neq 0\)).
Zobrazit výsledek
Matice \(A\) je nosičem podgrupy. Matice \(B\) a \(C\) nejsou nosiči podgrupy.
Příklad 2#
Mějme grupu \((\overline{\mathbb{Z}}_{12},\oplus)\), kde \(\overline{\mathbb{Z}}_{12}\) je systém zbytkových tříd modulo 12 a \(\oplus\) je operace sčítání na tomto systému. Najděte podgrupoidy grupy \((\overline{\mathbb{Z}}_{12},\oplus)\), které jsou generovány následujícími množinami:
a) \(A=\lbrace \overline 9 \rbrace\),
b) \(B=\lbrace \overline 2 \rbrace\),
c) \(C=\lbrace \overline {11} \rbrace\).
Zobrazit výsledek
Jde o následující podgrupoidy:
a) \((\lbrace \overline 0, \overline 3, \overline 6, \overline 9 \rbrace, \oplus)\),
b) \((\lbrace \overline 0, \overline 2, \overline 4, \overline 6, \overline 8, \overline {10} \rbrace, \oplus)\),
c) \((\overline{\mathbb{Z}}_{12},\oplus)\).
Příklad 3#
Mějme grupoid \((\mathbb{Q},*)\), kde operace \(*\) je pro každé \(a,b\in \mathbb{Q}\) definována následujícím způsobem:
Ověřte, že zobrazení \(f=\left\lbrace (x,y)\in\mathbb{Q}^2 | y=\frac{x-3}{2} \right\rbrace\) je izomorfismus grupoidu \((\mathbb{Q},*)\) na grupoid \((\mathbb{Q},\cdot)\).
Zobrazit výsledek
Ano, zobrazení \(f\) je izomorfismem grupoidu \((\mathbb{Q},*)\) na grupoid \((\mathbb{Q},\cdot)\).
Příklad 4#
Najděte izomorfismus grupoidu \((\lbrace 0, -1,1 \rbrace, \cdot \rbrace\) na grupoid \((\lbrace f_0, f_1, f_2 \rbrace, \circ)\), přičemž \(f_0=\emptyset\), \(f_1=\lbrace (0,1), (1,0) \rbrace\) a \(f_2=\lbrace (0,0),(1,1) \rbrace\).
Nápověda:
Doporučuji řešit s využitím Cayleyho tabulky.
\(f_1\) je zobrazení, která prvek \(0\) zobrazí na \(1\) a prvek \(1\) zobrazí na \(0\).
platí, že \(\emptyset \circ f = \emptyset = f\circ\emptyset\),
výsledný izomorfismus musí být ve tvaru \(f=\lbrace (-1,f_i),(0,f_j), (1,f_k)\rbrace\), kde správně určíte hodnoty proměnných \(i, j, k\).