{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Domácí úkol 7 (10. 11. 2025)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Příklad 1\n",
    "\n",
    "Mějme grupu $(M , +)$, kde $M$  je množina všech čtvercových matic typu $2 \\times 2$ nad $\\mathbb{R}$ (tj. $M=\\left\\lbrace\\left( \\begin{array}{cc} a & b\\\\c & d\\end{array} \\right) | a,b,c,d\\in\\mathbb{R}\\right\\rbrace$) a operace $+$ je sčítání matic. Zjistěte, zda následující podmnožiny množiny $M$ jsou nosiče podgrup grupy $(M, +)$:\n",
    "\n",
    "a) $A=\\left\\lbrace\\left( \\begin{array}{cc} a & b\\\\0 & c\\end{array} \\right) | a,b,c\\in\\mathbb{R}\\right\\rbrace$,\n",
    "\n",
    "b) $B=\\left\\lbrace\\left( \\begin{array}{cc} a & b\\\\1 & c\\end{array} \\right) | a,b,c\\in\\mathbb{R}\\right\\rbrace$,\n",
    "\n",
    "c) $C=\\left\\lbrace\\left( \\begin{array}{cc} a & b\\\\c & d\\end{array} \\right) | ad-bc \\neq 0; a,b,c,d\\in\\mathbb{R}\\right\\rbrace$ (tj. pouze takových matic, jejichž prvky $a,b,c,d$ splňují následující podmínku: $ad-bc \\neq 0$).\n",
    "\n",
    "```{admonition} Zobrazit výsledek\n",
    ":class: dropdown warning\n",
    "Matice $A$ je nosičem podgrupy. Matice $B$ a $C$ nejsou nosiči podgrupy.\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Příklad 2\n",
    "\n",
    "Mějme grupu $(\\overline{\\mathbb{Z}}_{12},\\oplus)$, kde $\\overline{\\mathbb{Z}}_{12}$ je systém zbytkových tříd modulo 12 a $\\oplus$ je operace sčítání na tomto systému. Najděte podgrupoidy grupy $(\\overline{\\mathbb{Z}}_{12},\\oplus)$, které jsou generovány následujícími množinami:\n",
    "\n",
    "a) $A=\\lbrace \\overline 9 \\rbrace$,\n",
    "\n",
    "b) $B=\\lbrace \\overline 2 \\rbrace$,\n",
    "\n",
    "c) $C=\\lbrace \\overline {11} \\rbrace$.\n",
    "\n",
    "\n",
    "```{admonition} Zobrazit výsledek\n",
    ":class: dropdown warning\n",
    "Jde o následující podgrupoidy:\n",
    "\n",
    "a) $(\\lbrace \\overline 0,  \\overline 3,  \\overline 6,  \\overline 9    \\rbrace, \\oplus)$,\n",
    "\n",
    "b) $(\\lbrace \\overline 0,  \\overline 2,  \\overline 4,  \\overline 6, \\overline 8, \\overline {10}    \\rbrace, \\oplus)$,\n",
    "\n",
    "c) $(\\overline{\\mathbb{Z}}_{12},\\oplus)$.\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Příklad 3\n",
    "\n",
    "Mějme grupoid $(\\mathbb{Q},*)$, kde operace $*$ je pro každé $a,b\\in \\mathbb{Q}$ definována následujícím způsobem:\n",
    "\n",
    "$$a *b=\\frac{ab-3a-3b+15}{2}.$$\n",
    "\n",
    "Ověřte, že zobrazení $f=\\left\\lbrace (x,y)\\in\\mathbb{Q}^2 | y=\\frac{x-3}{2} \\right\\rbrace$ je izomorfismus grupoidu $(\\mathbb{Q},*)$ na grupoid $(\\mathbb{Q},\\cdot)$.\n",
    "\n",
    "```{admonition} Zobrazit výsledek\n",
    ":class: dropdown warning\n",
    "Ano, zobrazení $f$ je izomorfismem grupoidu $(\\mathbb{Q},*)$ na grupoid $(\\mathbb{Q},\\cdot)$.\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Příklad 4\n",
    "\n",
    "Najděte izomorfismus grupoidu $(\\lbrace 0, -1,1 \\rbrace, \\cdot \\rbrace$ na grupoid $(\\lbrace f_0, f_1, f_2 \\rbrace, \\circ)$, přičemž $f_0=\\emptyset$, $f_1=\\lbrace (0,1), (1,0) \\rbrace$ a $f_2=\\lbrace (0,0),(1,1) \\rbrace$.\n",
    "\n",
    "*Nápověda*: \n",
    "- Doporučuji řešit s využitím Cayleyho tabulky.\n",
    "- $f_1$ je zobrazení, která prvek $0$ zobrazí na $1$ a prvek $1$ zobrazí na $0$.\n",
    "- platí, že $\\emptyset \\circ f = \\emptyset = f\\circ\\emptyset$,\n",
    "- výsledný izomorfismus musí být ve tvaru $f=\\lbrace (-1,f_i),(0,f_j), (1,f_k)\\rbrace$, kde správně určíte hodnoty proměnných $i, j, k$."
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3 (ipykernel)",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.12.9"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 4
}