Domácí úkol 6 (3. 11. 2025)

Domácí úkol 6 (3. 11. 2025)#

Příklad 1#

Mějme grupoid \((M,\circ)\), kde \(M=\lbrace \textrm{Kámen}, \textrm{Nůžky}, \textrm{Papír}, \textrm{Tapír}, \textrm{Spock}\rbrace\) a nechť \(\circ\) je binární operace, která libolvolným dvěma prvkům z množiny \(M\) přiřadí takový prvek, který vyhrává dle pravidel hry Kámen, nůžky, papír, tapír, Spock (viz níže). Najděte všechny podgrupoidy grupoidu \((M,\circ)\).

Pravidla hry Kámen, nůžky, papír, tapír, Spock:

  • Nůžky stříhají papír

  • Papír balí kámen

  • Kámen rozdrtí tapíra

  • Tapír otráví Spocka

  • Spock zničí nůžky

  • Nůžky utnou hlavu tapírovi

  • Tapír sní papír

  • Papír usvědčí Spocka

  • Spock vypaří kámen

  • Kámen tupí nůžky

Příklad 2#

Ukažte, že množina \(G=\lbrace a+i\cdot b | a, b\in \mathbb{Z}\rbrace\) je podgrupoid grupy \((\mathbb{C},+)\).

Dále nalezněte podgrupu \(H\) takovou, aby platilo \(G \subset H \subset \mathbb{C}\).

Příklad 3#

Mějme grupu \((M , +)\), kde \(M\) je množina všech čtvercových matic typu \(2 \times 2\) nad \(\mathbb{R}\) (tj. \(M=\left\lbrace\left( \begin{array}{cc} a & b\\c & d\end{array} \right) | a,b,c,d\in\mathbb{R}\right\rbrace\)) a operace \(+\) je sčítání matic. Zjistěte, zda následující podmnožiny množiny \(M\) jsou nosiče podgrup grupy \((M, +)\):

a) \(A=\left\lbrace\left( \begin{array}{cc} a & b\\0 & c\end{array} \right) | a,b,c\in\mathbb{R}\right\rbrace\),

b) \(B=\left\lbrace\left( \begin{array}{cc} a & b\\1 & c\end{array} \right) | a,b,c\in\mathbb{R}\right\rbrace\),

c) \(C=\left\lbrace\left( \begin{array}{cc} a & b\\c & d\end{array} \right) | ad-bc \neq 0; a,b,c,d\in\mathbb{R}\right\rbrace\) (tj. pouze takových matic, jejichž prvky \(a,b,c,d\) splňují následující podmínku: \(ad-bc \neq 0\)).

Zobrazit výsledek

Matice \(A\) je nosičem podgrupy. Matice \(B\) a \(C\) nejsou nosiči podgrupy.

Příklad 4#

Mějme grupu \((\overline{\mathbb{Z}}_{12},\oplus)\), kde \(\overline{\mathbb{Z}}_{12}\) je systém zbytkových tříd modulo 12 a \(\oplus\) je operace sčítání na tomto systému. Najděte podgrupoidy grupy \((\overline{\mathbb{Z}}_{12},\oplus)\), které jsou generovány následujícími množinami:

a) \(A=\lbrace \overline 9 \rbrace\),

b) \(B=\lbrace \overline 2 \rbrace\),

c) \(C=\lbrace \overline {11} \rbrace\).

Zobrazit výsledek

Jde o následující podgrupoidy:

a) \((\lbrace \overline 0, \overline 3, \overline 6, \overline 9 \rbrace, \oplus)\),

b) \((\lbrace \overline 0, \overline 2, \overline 4, \overline 6, \overline 8, \overline {10} \rbrace, \oplus)\),

c) \((\overline{\mathbb{Z}}_{12},\oplus)\).

Obsah