Cvičení 7 (10. 11. 2025)

Obsah

Cvičení 7 (10. 11. 2025)#

Příklad 1#

Vysvětlete co znamená, že je zobrazení \(f: A \to B\) injektivní, surjektivná a bijektivní.

Zobrazit řešení

Vezmeme to postupně. Zobrazení \(f: A \to B\) se nazývá injektivní (nebo také prosté), pokud platí

\(\forall a_1, a_2 \in A, b\in B; [(a_1, b)\in f \land (a_2 , b)\in f] \Rightarrow a_1=a_2;\)

Jinak řečeno pokud platí, že neexistují dvě různé hodnoty z \(A\), které by se zobrazily na stejnou hodnotu z \(B\) (tj. neexistují dva různé vstupy, které by se zobrazily na stejný výstup). Při ověření toho, zda je zobrazení injektivní postupujeme tak, že předpokládáme, že pro dvě různé \(x_1, x_2 \in A\) platí

\(f(x_1)=f(x_2)\)

následnou rovnici upravujeme až se ukáže, zda je možné, že jsou \(x_1\) a \(x_2\) různé (potom zobrazení není injektivní) nebo jsou si rovny (a pak je zobrazení injektivní).

Zobrazení \(f: A \to B\) se nazývá surjektivní (nebo také zobrazení \(A\) na \(B\)), pokud platí

\(\forall b\in B\,\, \exists a\in A; (a,b) \in f;\)

Jinak řečeno pokud platí, že každá hodnota \(b\in B\) má svůj vzor \(a\in A\), tj. existuje \(a\in A\) pro které \(f(a)=b\). Při ověření toho, zda je zobrazení surjektivní postupujeme tak, že si z rovnice \(y=f(x)\) vyjádříme proměnnou \(x\) a zkontrolujeme, že výraz má smysl pro všechna \(y\in B\). V takovém případě je zobrazení surjektivní. Pokud ovšem existuje \(y\in B\), pro které výraz není definován, zobrazení není surjektivní (můžete si všimnout, že vlastně hledáme inverzní zobrazení k zobrazení \(f\)).

A konečně Zobrazení \(f: A \to B\) se nazývá bijektivní, je-li současně injektivní i surjektivní.

Příklad 2#

Ukažte, že logaritmická funkce \(\log_{10}(x)\) je izomorfní zobrazení grupoidu \((\mathbb{R}^+,\cdot)\) na grupoid \((\mathbb{R},+)\)

Zobrazit řešení

Abychom ukázali, že nějaké zobrazení je izomorfním zobrazením z prvního do druhého grupoidy, je třeba ukázat

že se jedná o zobrazení z prvního do druhého grupoidu, které je bijektivní,
je splněna podmínka \(\forall x,y \in \mathbb{R}^+: f(x\cdot y)=f(x)+f(y).\)

Je zřejmé, že \(f(x)=\log_{10}(x)\) je zobrazení z \(\mathbb{R}^+\) do \(\mathbb{R}\). Pojďme oveřit, že je zobrazení \(f(x)=\log_{10}(x)\) bijektivní, tj. zda je injektivní a surjektivní.

Injektivita

Jak jsem si již uvedli, je třeba ověřit, zda neexistují dvě různé hodnoty \(x_1\) a \(x_2\) z \(\mathbb{R}^+\) pro které by platilo

\(f(x_1)=f(x_2).\)

Začneme tedy rovnici upravovat

\(\log_{10}(x_1)=\log_{10}(x_2)\)

\(10^{\log_{10}(x_1)}=10^{\log_{10}(x_2)}\)

\(x_1=x_2\).

Jak vidíme, rovnost je možná jen tehdy, pokud \(x_1=x_2\) a zobrazení je tedy injektivní.

Surjektivita

Nyní je třeba dokázat, zda je zobrazení \(f\) injektivní, tj. je třeba z výrazu

\(y=\log_{10}(x)\)

vyjádřit proměnnou \(x\):

\(10^y=10^{\log_{10}(x)}\)

\(10^y=x\)

\(x=10^y\)

Protože \(y\) jsou definovaná na \(\mathbb{R}\), má uvedený váraz smysl pro všechna \(y\) z definičního oboru a zobrazení je tedy surjektivní.

Bijektivita

Protože jsme ukázali, že zobrazení je injektivní i surjektivní, můžeme říct, že zobrazení je bijektivní.

Podmínka izomorfismu

Ukázali jsme, že zobrazení \(f(x)=\log_{10}(x)\) je bijektivní a je tedy vhodným kandidátem na izomorfismus z \(\mathbb{R}^+\) do \(\mathbb{R}\).

Pojďme o věřit, že platí následující podmínka

\(\forall x,y \in \mathbb{R}^+: f(x\cdot y)=f(x)+f(y).\)

Toto není těžké ukázat, když si vzpomene na pravislo které říká, že logaritmus součinu je roven součtu logaritmů

\(f(x\cdot y)=\log_{10}(x\cdot y)= \log_{10}(x)+ \log_{10}(y)=f(x)+f(y)\)

Ukázali jsme tedy, že zobrazení \(f(x)=\log_{10}(x)\) je izomorfní zobrazení grupoidu \((\mathbb{R}^+,\cdot)\) na grupoid \((\mathbb{R},+)\).

Toto je velmi užitečný poznatek, protože nám umožňuje převádět operaci násobení na operaci sčítání (tohoto principu využívá například logaritmické pravítko).

Příklad 3#

Na množině \(\mathbb{R}\) je dána operace \(*\) následovně: \(a*b=\frac{ab-a-b+3}{2}\). Zjistěte, zda zobrazení \(f: \mathbb{R}\to\mathbb{R}\), \(f(x)=2 x +1\) je izomorfismus grupoidu \((\mathbb{R}, \cdot)\) na grupoid \((\mathbb{R},*)\) a určete vlastnosti grupoidu \((\mathbb{R},*)\).

Zobrazit řešení

Budeme postupovat jako v předchozím příkladě:

Zobrazení \(f(x)=2 x +1\) je lineární a tedy bude zobrazením z \(\mathbb{R}\) do \(\mathbb{R}\). Pojďme oveřit, že je zobrazení bijektivní, tj. zda je injektivní a surjektivní.

Injektivita

Jak jsem si již uvedli, je třeba ověřit, zda neexistují dvě různé hodnoty \(x_1\) a \(x_2\) z \(\mathbb{R}\) pro které by platilo

\(f(x_1)=f(x_2)\).

Začneme tedy rovnici upravovat

\(2 x_1+1=2 x_2+1 \quad| -1\)

\(2 x_1=2 x_2\quad| ÷ 2\)

\(x_1=x_2\).

Jak vidíme, rovnost je možná jen tehdy, pokud \(x_1=x_2\) a zobrazení je tedy injektivní.

Surjektivita

Nyní je třeba dokázat,zda je zobrazení \(f\) injektivní, tj. je třeba z výrazu

\(y=2 x +1\)

vyjádřit proměnnou \(x\):

\(y-1=2 x\)

\(\frac{y-1}{2}=x\)

\(x=\frac{y-1}{2}\)

Protože \(y\) jsou definovaná na \(\mathbb{R}\), má uvedený váraz smysl pro všechna \(y\) z definičního oboru a zobrazení je tedy surjektivní.

Bijektivita

Protože jsme ukázali, že zobrazení je injektivní i surjektivní, můžeme říct, že zobrazení je bijektivní.

Podmínka izomorfismu

Ukázali jsme, že zobrazení \(f(x)=2 x+1\) je bijektivní a je tedy vhodným kandidátem na izomorfismus z \(\mathbb{R}\) do \(\mathbb{R}\).

Pojďme o věřit, že platí následující podmínka

\(\forall x,y \in \mathbb{R}: f(x\cdot y)=f(x)*f(y).\)

Rozepíšeme si postupně obě strany rovnosti:

\(f(x\cdot y)=2 (x \cdot y) +1 = 2 x y+1\)

a

\(f(x)*f(y)=(2x+1)*(2y+1)=\frac{(2x+1)(2y+1)-(2x+1)-(2y+1)+3}{2}=\)

\(=\frac{4xy+2x+2y+1-2x-1-2y-1+3}{2}=\frac{4 x y+2}{2}=2xy+1\)

Ukázali jsme tedy, že zobrazení \(f(x)=2x+1\) je izomorfní zobrazení grupoidu \((\mathbb{R},\cdot)\) na grupoid \((\mathbb{R},*)\).

Vlastnosti grupoidu \((\mathbb{R},*)\) Jako první možnost nás jistě napadne, že bychom vyšetřovali vlastnosti grupoidu běžným způsobem, tak jak jsme zvyklí. Taková cesta by byla v pořádku a jistě bychom došli k výsledku. My ale víme, že funkce \(f\) je izomorfní zobrazení grupoidu \((\mathbb{R},\cdot)\) na grupoid \((\mathbb{R},*)\) a můžeme tedy říct, že jsou oba grupoidy navzájem izomorfní. Nabízí se tedy otázka, zda tohoto faktu nemůžeme využít.

Využijeme tedy následující větu a její důsledek:

Věta

Nechť \(f\) je izomorfismus grupoidu \((G,\circ)\) na grupoid \((H,*)\). Pak platí:

a) pokud je operace \(\circ\) asociativní (komutativní), potom je i operace \(*\) asociativní (komutativní),

b) pokud \(e\) je neutrální prvek grupoidu \((G, \circ)\), potom \(f(e)\) je neutrální prvek grupoidu \((H,*)\),

c) pokud \(a,a^*\in G\) jsou vzájemně symetrické prvky grupoidu \((G, \circ)\), potom \(f(a)\) a \(f(a^*)\) jsou vzájemně symetrické prvky v grupoidu \((H,*)\).

Důsledek

Nechť grupoid \((G, \circ)\) je izomorfní s grupoidem \((H,*)\). Potom \((G, \circ)\) je pologrupa (monoid, grupa) tehdy a jen tehdy, když \((H,*)\) je pologrupa (monoid, grupa).

Díky tomuto si můžeme vybrat, u kterého z grupoidů \((\mathbb{R},\cdot)\) a \((\mathbb{R},*)\) budeme vyšetřovat vlastnosti, protože budou platit u obou grupoidů.

My si vybereme grupoid \((\mathbb{R},\cdot)\), protože jej již velmi dobře známe a víme, že násobení reálných čísel

je komutativní
je asociativní
má neutrální prvke a tím je \(1\)
inverzní prvek neexistuje pro každé reálné číslo (konkrétně k nule neexistuje).

Můžeme tedy říct že se jedná o komutativní monoid a tedy i grupoid \((\mathbb{R},*)\) je komutativním monoidem.

Pozor! - sice jsme ukázali, že \((\mathbb{R},*)\) je komutativní monoid, ale správně bysme měli určit i jeho neutrální prvek. Prvek \(1\) sice je neutrálním prvkem komutativného monoidu \((\mathbb{R},\cdot)\), ale abychom našli neutrální prvek v námi vyšetřovaném komutativním monoidu \((\mathbb{R},*)\), musíme do něj prvek \(1\) „zobrazit“ pomocí funkce \(f\), tj. \(f(1)=2\cdot 1+1=3\). Neutrálním prvkem je tedy v tomto grupoidu prvek \(3\).

Pokud by v grupoidu existovaly inverzní prvky ke každému prvku, museli bychom obdobným způsobem upravit i předpis pro inverzní prvek.

Příklad 4#

Určete, zda grupoidy \((\lbrace 0, 1\rbrace,\cdot)\) a \((\left\lbrace \emptyset, \lbrace 1\rbrace\right\rbrace, \cap )\) jsou izomofrní.

Zobrazit řešení

V případě grupoidů, které mají konečný počet prvků lze postupovat snadněji. Vypíšeme si obě Cayleyho tabulky a porovnáme, jestli se nechovají stejně (případně jestli u jedné nemůžeme přeskládat sloupce a řádky tak, aby se tabulky chovaly stejně):

\(\cdot\)	\(0\)	\(1\)
\(0\)	\(0\)	\(0\)
\(1\)	\(0\)	\(1\)

\( \)

\(\cap\)	\(\emptyset\)	\(\lbrace 1\rbrace\)
\(\emptyset\)	\(\emptyset\)	\(\emptyset\)
\(\lbrace 1\rbrace\)	\(\emptyset\)	\(\lbrace 1\rbrace\)

Pokud se na obě tabulky podíváme „jakoby z dálky“, vidíme, že se obě chovají stejně, „pouze“ mají jiné prvky a operace.

Formálně tuto podobnost můžeme zapsat pomocí funkce \(f=\lbrace (0,\emptyset), (1,\lbrace 1\rbrace)\rbrace\) („polopatě“ řečeno tato funkce nule přiřazuje prázdnou množinu a jedničce přiřazuje množinu obsahující prvek 1). Tato funkce je izomorfním zobrazením grupoidu \((\lbrace 0, 1\rbrace,\cdot)\) na grupoid \((\left\lbrace \emptyset, \lbrace 1\rbrace\right\rbrace, \cap )\). A tedy jsou oba grupoidy izomorfní.

Pokud bychom hledali izomorfní zobrazení grupoidu \((\left\lbrace \emptyset, \lbrace 1\rbrace\right\rbrace, \cap )\) na grupoid \((\lbrace 0, 1\rbrace,\cdot)\), stačilo by vytvořit opačnou funkci k funkci \(f\), která by měla prohozené prvky. Tj. \(f=\lbrace (\emptyset, 0), (\lbrace 1\rbrace , 1)\rbrace\).

Příklad 5#

Na množině \(A=\lbrace 1, 2, 3\rbrace\) je dána operace \(\circ\) a na množině \(B=\lbrace a, b, c\rbrace\) je dána operace \(*\) pomocí následujících tabulek:

\(\circ\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(1\)	\(1\)	\(2\)	\(3\)
\(2\)	\(2\)	\(3\)	\(1\)
\(3\)	\(3\)	\(1\)	\(2\)

\(*\)	\(a\)	\(b\)	\(c\)
\(a\)	\(a\)	\(b\)	\(c\)
\(b\)	\(b\)	\(c\)	\(a\)
\(c\)	\(c\)	\(b\)	\(a\)

Zjistětem zda grupoid \((A,\circ)\) je izomorfní s grupoidem \((B,\)*\()\).

Zobrazit řešení

Budeme postupovat obdobně jako v předchozím příkladě. Výhodou je, že tabulky již máme vypsané a můžeme jen zkontrolovat, zda se „chovají“ stejně (pokud se Vám v tabulkách provádí srovnání špatně, můžete si vždy stejně prvky v tabulkách vyznačit pomocí barev a následně srovnávat).

Na první pohled je vidět, že tyto tabulky se shodně nechovají. To ale může být i tím, že v jedné z tabulek jsou prvky ve „špatném pořadí“. Mohli bychom tedy zkusit v jedné z tabulek prvky přeskládávat a dívat se, jestli se situace nezlepšila.

V případě 3 prvků můžeme mít cekem 6 různých uspořádání (permutace tří prvků), což je poměrně hodně, ale my si situaci můžeme ještě zjednodušit. Pokud si pozorně prohlédneme obě tabulky tak vidíme, že v první tabulce je neutrálním prvkem \(1\) a ve druhé tabulce prvek \(a\). Protože v grupoidu může být nejvýše jeden neutrální prvek, musí být tento neutrální prvek v tabulkách na stejném místě (aby byly tabulky stejné). Můžeme tedy tyto neutrální prvky „zafixovat“ na prvním místě v tabulce a budeme měnit pořadí zbývajících 2 prvků - takové možnosti jsou pouze dvě a navíc jedna už nám byla představena v zadaní. Samozřejmě stačí provést záměnu jen v jedné z tabulek, druhou ponechat a provést srovnání (změníme první z tabulek):

\(\circ\)	\(1\)	\(3\)	\(2\)
\(1\)	\(1\)	\(3\)	\(2\)
\(3\)	\(3\)	\(2\)	\(1\)
\(2\)	\(2\)	\(1\)	\(3\)

\( \)

\(*\)	\(a\)	\(b\)	\(c\)
\(a\)	\(a\)	\(b\)	\(c\)
\(b\)	\(b\)	\(c\)	\(a\)
\(c\)	\(c\)	\(b\)	\(a\)

Jak vidíme, ani tyto tabulky se „nechovají stejně“ a můžeme tedy řict, že tyto grupoidy nejsou izomorfní.

Alternativní postup

Pokud bychom nechtěli srovnávat Cayleyho tabulky, mohli bychom zkusit postupovat tak, že bychom hledali nějakou základní vlastnost grupoidu, která v jednom grupoidu platí a ve druhém neplatí. Pak bychom s využitím věty, která je uvedena v příkladu 3 došli k tomu, že grupoidy nejsou izomorfní:

První grupoid je komutativní, protože tabulka je symetrická dle hlavní diagonály. Druhý grupoid ale nemá symetrickou tabulku dle hlavní diagonály a není tedy komutativní. Věta ale říká, že pokud existuje izomorfní zobrazení jednoho grupoidy na druhý (tj. jsou izomorfní) pak pokud jeden z grupoidů je komutativní, musí být i druhý komutativní - což neplatí a izomorfní zobrazení tedy nemůže existovat, takže grupoidy nejsou izomorfní.

!Pozor - pokud bychom ověřili, že mají oba grupoidy stejné základní vlastnosti, nemusí to nutně znamenat, že jsou izomorfní. Uvedený postup nám tedy nepomůže vždy!