{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Domácí úkol 6 (3. 11. 2025)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Příklad 1\n",
    "\n",
    "Mějme grupoid $(M,\\circ)$, kde $M=\\lbrace \\textrm{Kámen}, \\textrm{Nůžky}, \\textrm{Papír}, \\textrm{Tapír}, \\textrm{Spock}\\rbrace$ a nechť $\\circ$ je binární operace, která libolvolným dvěma prvkům z množiny $M$ přiřadí takový prvek, který vyhrává dle pravidel hry *Kámen, nůžky, papír, tapír, Spock* (viz níže). Najděte všechny podgrupoidy grupoidu $(M,\\circ)$.\n",
    "\n",
    "Pravidla hry *Kámen, nůžky, papír, tapír, Spock*:\n",
    "* Nůžky stříhají papír\n",
    "* Papír balí kámen\n",
    "* Kámen rozdrtí tapíra\n",
    "* Tapír otráví Spocka\n",
    "* Spock zničí nůžky\n",
    "* Nůžky utnou hlavu tapírovi\n",
    "* Tapír sní papír\n",
    "* Papír usvědčí Spocka\n",
    "* Spock vypaří kámen\n",
    "* Kámen tupí nůžky"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Příklad 2\n",
    "\n",
    "Ukažte, že množina $G=\\lbrace a+i\\cdot b | a, b\\in \\mathbb{Z}\\rbrace$ je podgrupoid grupy $(\\mathbb{C},+)$.\n",
    "\n",
    "Dále nalezněte podgrupu $H$ takovou, aby platilo $G \\subset H \\subset \\mathbb{C}$."
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Příklad 3\n",
    "\n",
    "Mějme grupu $(M , +)$, kde $M$  je množina všech čtvercových matic typu $2 \\times 2$ nad $\\mathbb{R}$ (tj. $M=\\left\\lbrace\\left( \\begin{array}{cc} a & b\\\\c & d\\end{array} \\right) | a,b,c,d\\in\\mathbb{R}\\right\\rbrace$) a operace $+$ je sčítání matic. Zjistěte, zda následující podmnožiny množiny $M$ jsou nosiče podgrup grupy $(M, +)$:\n",
    "\n",
    "a) $A=\\left\\lbrace\\left( \\begin{array}{cc} a & b\\\\0 & c\\end{array} \\right) | a,b,c\\in\\mathbb{R}\\right\\rbrace$,\n",
    "\n",
    "b) $B=\\left\\lbrace\\left( \\begin{array}{cc} a & b\\\\1 & c\\end{array} \\right) | a,b,c\\in\\mathbb{R}\\right\\rbrace$,\n",
    "\n",
    "c) $C=\\left\\lbrace\\left( \\begin{array}{cc} a & b\\\\c & d\\end{array} \\right) | ad-bc \\neq 0; a,b,c,d\\in\\mathbb{R}\\right\\rbrace$ (tj. pouze takových matic, jejichž prvky $a,b,c,d$ splňují následující podmínku: $ad-bc \\neq 0$).\n",
    "\n",
    "```{admonition} Zobrazit výsledek\n",
    ":class: dropdown warning\n",
    "Matice $A$ je nosičem podgrupy. Matice $B$ a $C$ nejsou nosiči podgrupy.\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Příklad 4\n",
    "\n",
    "Mějme grupu $(\\overline{\\mathbb{Z}}_{12},\\oplus)$, kde $\\overline{\\mathbb{Z}}_{12}$ je systém zbytkových tříd modulo 12 a $\\oplus$ je operace sčítání na tomto systému. Najděte podgrupoidy grupy $(\\overline{\\mathbb{Z}}_{12},\\oplus)$, které jsou generovány následujícími množinami:\n",
    "\n",
    "a) $A=\\lbrace \\overline 9 \\rbrace$,\n",
    "\n",
    "b) $B=\\lbrace \\overline 2 \\rbrace$,\n",
    "\n",
    "c) $C=\\lbrace \\overline {11} \\rbrace$.\n",
    "\n",
    "\n",
    "```{admonition} Zobrazit výsledek\n",
    ":class: dropdown warning\n",
    "Jde o následující podgrupoidy:\n",
    "\n",
    "a) $(\\lbrace \\overline 0,  \\overline 3,  \\overline 6,  \\overline 9    \\rbrace, \\oplus)$,\n",
    "\n",
    "b) $(\\lbrace \\overline 0,  \\overline 2,  \\overline 4,  \\overline 6, \\overline 8, \\overline {10}    \\rbrace, \\oplus)$,\n",
    "\n",
    "c) $(\\overline{\\mathbb{Z}}_{12},\\oplus)$.\n",
    "```"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3 (ipykernel)",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.12.9"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 4
}