{
 "cells": [
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "# Cvičení 7 (10. 11. 2025)"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Příklad 1\n",
    "\n",
    "Vysvětlete co znamená, že je zobrazení $f: A \\to B$ injektivní, surjektivná a bijektivní.\n",
    "\n",
    "```{admonition} Zobrazit řešení\n",
    ":class: dropdown warning\n",
    "\n",
    "1) Vezmeme to postupně. Zobrazení  $f: A \\to B$ se nazývá injektivní (nebo také prosté), pokud platí \n",
    "\n",
    "$\\forall a_1, a_2 \\in A, b\\in B; [(a_1, b)\\in f \\land (a_2 , b)\\in f] \\Rightarrow a_1=a_2;$\n",
    "\n",
    "Jinak řečeno pokud platí, že neexistují dvě různé hodnoty z $A$, které by se zobrazily na stejnou hodnotu z $B$ (tj. neexistují dva různé vstupy, které by se zobrazily na stejný výstup).\n",
    "Při ověření toho, zda je zobrazení injektivní postupujeme tak, že předpokládáme, že pro dvě různé $x_1, x_2 \\in A$ platí\n",
    "\n",
    "$f(x_1)=f(x_2)$\n",
    "\n",
    "následnou rovnici upravujeme až se ukáže, zda je možné, že jsou $x_1$ a $x_2$ různé (potom zobrazení není injektivní) nebo jsou si rovny (a pak je zobrazení injektivní).\n",
    "\n",
    "\n",
    "2. Zobrazení  $f: A \\to B$ se nazývá surjektivní (nebo také zobrazení $A$ na $B$), pokud platí \n",
    "\n",
    "$\\forall b\\in B\\,\\, \\exists a\\in A; (a,b) \\in f;$\n",
    "\n",
    "Jinak řečeno pokud platí, že každá hodnota $b\\in B$ má svůj vzor $a\\in A$, tj. existuje $a\\in A$ pro které $f(a)=b$.\n",
    "Při ověření toho, zda je zobrazení surjektivní postupujeme tak, že si z rovnice $y=f(x)$ vyjádříme proměnnou $x$ a zkontrolujeme, že výraz má smysl pro všechna $y\\in B$. V takovém případě je zobrazení surjektivní. Pokud ovšem existuje $y\\in B$, pro které výraz není definován, zobrazení není surjektivní (můžete si všimnout, že vlastně hledáme inverzní zobrazení k zobrazení $f$).\n",
    "\n",
    "3. A konečně Zobrazení $f: A \\to B$ se nazývá bijektivní, je-li současně injektivní i surjektivní.\n",
    "\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Příklad 2\n",
    "\n",
    "Ukažte, že logaritmická funkce $\\log_{10}(x)$ je izomorfní zobrazení grupoidu $(\\mathbb{R}^+,\\cdot)$ na grupoid $(\\mathbb{R},+)$ \n",
    "\n",
    "```{admonition} Zobrazit řešení\n",
    ":class: dropdown warning\n",
    "\n",
    "Abychom ukázali, že nějaké zobrazení je izomorfním zobrazením z prvního do druhého grupoidy, je třeba ukázat\n",
    "1. že se jedná o zobrazení z prvního do druhého grupoidu, které je bijektivní,\n",
    "2. je splněna  podmínka $\\forall x,y \\in \\mathbb{R}^+: f(x\\cdot y)=f(x)+f(y).$\n",
    "\n",
    "Je zřejmé, že $f(x)=\\log_{10}(x)$ je zobrazení z $\\mathbb{R}^+$ do $\\mathbb{R}$. Pojďme oveřit, že je zobrazení $f(x)=\\log_{10}(x)$ bijektivní, tj. zda je injektivní a surjektivní.\n",
    "\n",
    "**Injektivita**\n",
    "\n",
    "Jak jsem si již uvedli, je třeba ověřit, zda neexistují dvě různé hodnoty $x_1$ a $x_2$ z $\\mathbb{R}^+$ pro které by platilo\n",
    "\n",
    "$f(x_1)=f(x_2).$\n",
    "\n",
    "Začneme tedy rovnici upravovat\n",
    "\n",
    "$\\log_{10}(x_1)=\\log_{10}(x_2)$\n",
    "\n",
    "$10^{\\log_{10}(x_1)}=10^{\\log_{10}(x_2)}$\n",
    "\n",
    "$x_1=x_2$.\n",
    "\n",
    "Jak vidíme, rovnost je možná jen tehdy, pokud $x_1=x_2$ a zobrazení je tedy injektivní.\n",
    "\n",
    "**Surjektivita**\n",
    "\n",
    "Nyní je třeba dokázat, zda je zobrazení $f$ injektivní, tj. je třeba z výrazu  \n",
    "\n",
    "$y=\\log_{10}(x)$\n",
    "\n",
    "vyjádřit proměnnou $x$:\n",
    "\n",
    "$10^y=10^{\\log_{10}(x)}$\n",
    "\n",
    "$10^y=x$\n",
    "\n",
    "$x=10^y$\n",
    "\n",
    "Protože $y$ jsou definovaná na $\\mathbb{R}$, má uvedený váraz smysl pro všechna $y$ z definičního oboru a zobrazení je tedy surjektivní.\n",
    "\n",
    "**Bijektivita**\n",
    "\n",
    "Protože jsme ukázali, že zobrazení je injektivní i surjektivní, můžeme říct, že zobrazení je bijektivní.\n",
    "\n",
    "**Podmínka izomorfismu**\n",
    "\n",
    "Ukázali jsme, že zobrazení $f(x)=\\log_{10}(x)$ je bijektivní a je tedy vhodným kandidátem na izomorfismus z $\\mathbb{R}^+$ do $\\mathbb{R}$.\n",
    "\n",
    "Pojďme o věřit, že platí následující podmínka\n",
    "\n",
    "$\\forall x,y \\in \\mathbb{R}^+: f(x\\cdot y)=f(x)+f(y).$\n",
    "\n",
    "Toto není těžké ukázat, když si vzpomene na pravislo které říká, že logaritmus součinu je roven součtu logaritmů\n",
    "\n",
    "$f(x\\cdot y)=\\log_{10}(x\\cdot y)= \\log_{10}(x)+ \\log_{10}(y)=f(x)+f(y)$\n",
    "\n",
    "Ukázali jsme tedy, že zobrazení $f(x)=\\log_{10}(x)$ je izomorfní zobrazení grupoidu $(\\mathbb{R}^+,\\cdot)$ na grupoid $(\\mathbb{R},+)$.\n",
    "\n",
    "Toto je velmi užitečný poznatek, protože nám umožňuje převádět operaci násobení na operaci sčítání (tohoto principu využívá například logaritmické pravítko).\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Příklad 3\n",
    "\n",
    "Na množině $\\mathbb{R}$ je dána operace $*$ následovně: $a*b=\\frac{ab-a-b+3}{2}$. Zjistěte, zda zobrazení $f: \\mathbb{R}\\to\\mathbb{R}$, $f(x)=2 x +1$ je izomorfismus grupoidu $(\\mathbb{R}, \\cdot)$ na grupoid $(\\mathbb{R},*)$ a určete vlastnosti grupoidu $(\\mathbb{R},*)$.\n",
    "\n",
    "::::{admonition} Zobrazit řešení\n",
    ":class: dropdown warning\n",
    "\n",
    "Budeme postupovat jako v předchozím příkladě:\n",
    "\n",
    "Zobrazení $f(x)=2 x +1$ je lineární a tedy bude zobrazením z $\\mathbb{R}$ do $\\mathbb{R}$. Pojďme oveřit, že je zobrazení bijektivní, tj. zda je injektivní a surjektivní.\n",
    "\n",
    "**Injektivita**\n",
    "\n",
    "Jak jsem si již uvedli, je třeba ověřit, zda neexistují dvě různé hodnoty $x_1$ a $x_2$ z $\\mathbb{R}$ pro které by platilo\n",
    "\n",
    "$f(x_1)=f(x_2)$.\n",
    "\n",
    "Začneme tedy rovnici upravovat\n",
    "\n",
    "$2 x_1+1=2 x_2+1 \\quad| -1$\n",
    "\n",
    "$2 x_1=2 x_2\\quad| ÷ 2$\n",
    "\n",
    "$x_1=x_2$.\n",
    "\n",
    "Jak vidíme, rovnost je možná jen tehdy, pokud $x_1=x_2$ a zobrazení je tedy injektivní.\n",
    "\n",
    "**Surjektivita**\n",
    "\n",
    "Nyní je třeba dokázat,zda je zobrazení $f$ injektivní, tj. je třeba z výrazu  \n",
    "\n",
    "$y=2 x +1$\n",
    "\n",
    "vyjádřit proměnnou $x$:\n",
    "\n",
    "$y-1=2 x$\n",
    "\n",
    "$\\frac{y-1}{2}=x$\n",
    "\n",
    "$x=\\frac{y-1}{2}$\n",
    "\n",
    "Protože $y$ jsou definovaná na $\\mathbb{R}$, má uvedený váraz smysl pro všechna $y$ z definičního oboru a zobrazení je tedy surjektivní.\n",
    "\n",
    "**Bijektivita**\n",
    "\n",
    "Protože jsme ukázali, že zobrazení je injektivní i surjektivní, můžeme říct, že zobrazení je bijektivní.\n",
    "\n",
    "**Podmínka izomorfismu**\n",
    "\n",
    "Ukázali jsme, že zobrazení $f(x)=2 x+1$ je bijektivní a je tedy vhodným kandidátem na izomorfismus z $\\mathbb{R}$ do $\\mathbb{R}$.\n",
    "\n",
    "Pojďme o věřit, že platí následující podmínka\n",
    "\n",
    "$\\forall x,y \\in \\mathbb{R}: f(x\\cdot y)=f(x)*f(y).$\n",
    "\n",
    "Rozepíšeme si postupně obě strany rovnosti:\n",
    "\n",
    "$f(x\\cdot y)=2 (x \\cdot y) +1 = 2 x y+1$\n",
    "\n",
    "a\n",
    "\n",
    "$f(x)*f(y)=(2x+1)*(2y+1)=\\frac{(2x+1)(2y+1)-(2x+1)-(2y+1)+3}{2}=$\n",
    "\n",
    "$=\\frac{4xy+2x+2y+1-2x-1-2y-1+3}{2}=\\frac{4 x y+2}{2}=2xy+1$\n",
    "\n",
    "Ukázali jsme tedy, že zobrazení $f(x)=2x+1$ je izomorfní zobrazení grupoidu $(\\mathbb{R},\\cdot)$ na grupoid $(\\mathbb{R},*)$.\n",
    "\n",
    "**Vlastnosti grupoidu $(\\mathbb{R},*)$**\n",
    "Jako první možnost nás jistě napadne, že bychom vyšetřovali vlastnosti grupoidu běžným způsobem, tak jak jsme zvyklí. Taková cesta by byla v pořádku a jistě bychom došli k výsledku. My ale víme, že funkce $f$ je izomorfní zobrazení grupoidu $(\\mathbb{R},\\cdot)$ na grupoid $(\\mathbb{R},*)$ a můžeme tedy říct, že jsou oba grupoidy navzájem izomorfní. Nabízí se tedy otázka, zda tohoto faktu nemůžeme využít.\n",
    "\n",
    "Využijeme tedy následující větu a její důsledek:\n",
    "\n",
    "**Věta**\n",
    "\n",
    "*Nechť $f$ je izomorfismus grupoidu $(G,\\circ)$ na grupoid $(H,*)$. Pak platí:*\n",
    "\n",
    "a) *pokud je operace $\\circ$ asociativní (komutativní), potom je i operace $*$ asociativní (komutativní),*\n",
    "\n",
    "b) *pokud $e$ je neutrální prvek grupoidu $(G, \\circ)$, potom $f(e)$ je neutrální prvek grupoidu $(H,*)$,*\n",
    "\n",
    "c) *pokud $a,a^*\\in G$ jsou vzájemně symetrické prvky grupoidu $(G, \\circ)$, potom $f(a)$ a $f(a^*)$ jsou vzájemně symetrické prvky v grupoidu $(H,*)$.*\n",
    "\n",
    "\n",
    "**Důsledek**\n",
    "\n",
    "*Nechť grupoid $(G, \\circ)$ je izomorfní s grupoidem $(H,*)$. Potom $(G, \\circ)$ je pologrupa (monoid, grupa) tehdy a jen tehdy, když $(H,*)$ je pologrupa (monoid, grupa).*\n",
    "\n",
    "\n",
    "Díky tomuto si můžeme vybrat, u kterého z grupoidů $(\\mathbb{R},\\cdot)$ a $(\\mathbb{R},*)$ budeme vyšetřovat vlastnosti, protože budou platit u obou grupoidů.\n",
    "\n",
    "My si vybereme grupoid $(\\mathbb{R},\\cdot)$, protože jej již velmi dobře známe a víme, že násobení reálných čísel\n",
    "- je komutativní\n",
    "- je asociativní\n",
    "- má neutrální prvke a tím je $1$\n",
    "- inverzní prvek neexistuje pro každé reálné číslo (konkrétně k nule neexistuje).\n",
    "\n",
    "Můžeme tedy říct že se jedná o komutativní monoid a tedy i grupoid $(\\mathbb{R},*)$ je komutativním monoidem.\n",
    "\n",
    "**Pozor!** - sice jsme ukázali, že $(\\mathbb{R},*)$ je komutativní monoid, ale správně bysme měli určit i jeho neutrální prvek. Prvek $1$ sice je neutrálním prvkem komutativného monoidu $(\\mathbb{R},\\cdot)$, ale abychom našli neutrální prvek v námi vyšetřovaném komutativním monoidu $(\\mathbb{R},*)$, musíme do něj prvek $1$ \"zobrazit\" pomocí funkce $f$, tj. $f(1)=2\\cdot 1+1=3$. Neutrálním prvkem je tedy v tomto grupoidu prvek $3$.\n",
    "\n",
    "Pokud by v grupoidu existovaly inverzní prvky ke každému prvku, museli bychom obdobným způsobem upravit i předpis pro inverzní prvek.\n",
    "\n",
    "\n",
    "::::"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Příklad 4\n",
    "\n",
    "Určete, zda grupoidy $(\\lbrace 0, 1\\rbrace,\\cdot)$ a $(\\left\\lbrace \\emptyset, \\lbrace 1\\rbrace\\right\\rbrace, \\cap )$ jsou izomofrní.\n",
    "\n",
    "\n",
    "\n",
    "```{admonition} Zobrazit řešení\n",
    ":class: dropdown warning\n",
    "V případě grupoidů, které mají konečný počet prvků lze postupovat snadněji. Vypíšeme si obě Cayleyho tabulky a porovnáme, jestli se nechovají stejně (případně jestli u jedné nemůžeme přeskládat sloupce a řádky tak, aby se tabulky chovaly stejně):\n",
    "\n",
    "| $\\cdot$ | $0$ |  $1$ |\n",
    "|:-------:|:-------:|:-------:|\n",
    "| $0$ | $0$ | $0$ | \n",
    "| $1$ | $0$ | $1$ |\n",
    "\n",
    "$ $\n",
    "\n",
    "| $\\cap$ | $\\emptyset$ |  $\\lbrace 1\\rbrace$ |\n",
    "|:-------:|:-------:|:-------:|\n",
    "| $\\emptyset$ | $\\emptyset$ | $\\emptyset$ | \n",
    "| $\\lbrace 1\\rbrace$ | $\\emptyset$ | $\\lbrace 1\\rbrace$ |\n",
    "\n",
    "\n",
    "Pokud se na obě tabulky podíváme \"jakoby z dálky\", vidíme, že se obě chovají stejně, \"pouze\" mají jiné prvky a operace.\n",
    "\n",
    "Formálně tuto podobnost můžeme zapsat pomocí funkce $f=\\lbrace (0,\\emptyset), (1,\\lbrace 1\\rbrace)\\rbrace$ (\"polopatě\" řečeno tato funkce nule přiřazuje prázdnou množinu a jedničce přiřazuje množinu obsahující prvek 1). Tato funkce je izomorfním zobrazením grupoidu $(\\lbrace 0, 1\\rbrace,\\cdot)$ na grupoid $(\\left\\lbrace \\emptyset, \\lbrace 1\\rbrace\\right\\rbrace, \\cap )$. A tedy jsou oba grupoidy izomorfní. \n",
    "\n",
    "Pokud bychom hledali izomorfní zobrazení grupoidu $(\\left\\lbrace \\emptyset, \\lbrace 1\\rbrace\\right\\rbrace, \\cap )$ na grupoid $(\\lbrace 0, 1\\rbrace,\\cdot)$, stačilo by vytvořit opačnou funkci k funkci $f$, která by měla prohozené prvky. Tj. $f=\\lbrace (\\emptyset, 0), (\\lbrace 1\\rbrace , 1)\\rbrace$.\n",
    "\n",
    "```"
   ]
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "## Příklad 5\n",
    "\n",
    "Na množině $A=\\lbrace 1, 2, 3\\rbrace$ je dána operace $\\circ$ a na množině $B=\\lbrace a, b, c\\rbrace$ je dána operace $*$ pomocí následujících tabulek:\n",
    "\n",
    "| $\\circ$ | $1$ |  $2$ |  $3$ |\n",
    "|:-------:|:-------:|:-------:|:-------:|\n",
    "| $1$ | $1$ | $2$ | $3$ |\n",
    "| $2$ | $2$ | $3$ | $1$ |\n",
    "| $3$ | $3$ | $1$ | $2$ |\n",
    "\n",
    "| $*$ | $a$ |  $b$ |  $c$ |\n",
    "|:-------:|:-------:|:-------:|:-------:|\n",
    "| $a$ | $a$ | $b$ | $c$ |\n",
    "| $b$ | $b$ | $c$ | $a$ |\n",
    "| $c$ | $c$ | $b$ | $a$ |\n",
    "\n",
    "Zjistětem zda grupoid $(A,\\circ)$ je izomorfní s grupoidem $(B,$*$)$.\n",
    "\n",
    "::::{admonition} Zobrazit řešení\n",
    ":class: dropdown warning\n",
    "\n",
    "Budeme postupovat obdobně jako v předchozím příkladě. Výhodou je, že tabulky již máme vypsané a můžeme jen zkontrolovat, zda se \"chovají\" stejně (pokud se Vám v tabulkách provádí srovnání špatně, můžete si vždy stejně prvky v tabulkách vyznačit pomocí barev a následně srovnávat). \n",
    "\n",
    "Na první pohled je vidět, že tyto tabulky se shodně nechovají. To ale může být i tím, že v jedné z tabulek jsou prvky ve \"špatném pořadí\". Mohli bychom tedy zkusit v jedné z tabulek prvky přeskládávat a dívat se, jestli se situace nezlepšila. \n",
    "\n",
    "V případě 3 prvků můžeme mít cekem 6 různých uspořádání (permutace tří prvků), což je poměrně hodně, ale my si situaci můžeme ještě zjednodušit. Pokud si pozorně prohlédneme obě tabulky tak vidíme, že v první tabulce je neutrálním prvkem $1$ a ve druhé tabulce prvek $a$. Protože v grupoidu může být nejvýše jeden neutrální prvek, musí být tento neutrální prvek v tabulkách na stejném místě (aby byly tabulky stejné). Můžeme tedy tyto neutrální prvky \"zafixovat\" na prvním místě v tabulce a budeme měnit pořadí zbývajících 2 prvků - takové možnosti jsou pouze dvě a navíc jedna už nám byla představena v zadaní. Samozřejmě stačí provést záměnu jen v jedné z tabulek, druhou ponechat a provést srovnání (změníme první z tabulek):\n",
    "\n",
    "| $\\circ$ | $1$ |  $3$ |  $2$ |\n",
    "|:-------:|:-------:|:-------:|:-------:|\n",
    "| $1$ | $1$ | $3$ | $2$ |\n",
    "| $3$ | $3$ | $2$ | $1$ |\n",
    "| $2$ | $2$ | $1$ | $3$ |\n",
    "\n",
    "$ $\n",
    "\n",
    "| $*$ | $a$ |  $b$ |  $c$ |\n",
    "|:-------:|:-------:|:-------:|:-------:|\n",
    "| $a$ | $a$ | $b$ | $c$ |\n",
    "| $b$ | $b$ | $c$ | $a$ |\n",
    "| $c$ | $c$ | $b$ | $a$ |\n",
    "\n",
    "Jak vidíme, ani tyto tabulky se \"nechovají stejně\" a můžeme tedy řict, že tyto grupoidy nejsou izomorfní.\n",
    "\n",
    "**Alternativní postup**\n",
    "\n",
    "Pokud bychom nechtěli srovnávat Cayleyho tabulky, mohli bychom zkusit postupovat tak, že bychom hledali nějakou základní vlastnost grupoidu, která v jednom grupoidu platí a ve druhém neplatí. Pak bychom s využitím věty, která je uvedena v příkladu 3 došli k tomu, že grupoidy nejsou izomorfní:\n",
    "\n",
    "První grupoid je komutativní, protože tabulka je symetrická dle hlavní diagonály. Druhý grupoid ale nemá symetrickou tabulku dle hlavní diagonály a není tedy komutativní. Věta ale říká, že pokud existuje izomorfní zobrazení jednoho grupoidy na druhý (tj. jsou izomorfní) pak pokud jeden z grupoidů je komutativní, musí být i druhý komutativní - což neplatí a izomorfní zobrazení tedy nemůže existovat, takže grupoidy nejsou izomorfní.\n",
    "\n",
    "!Pozor - pokud bychom ověřili, že mají oba grupoidy stejné základní vlastnosti, nemusí to nutně znamenat, že jsou izomorfní. Uvedený postup nám tedy nepomůže vždy!\n",
    "\n",
    "::::"
   ]
  }
 ],
 "metadata": {
  "kernelspec": {
   "display_name": "Python 3 (ipykernel)",
   "language": "python",
   "name": "python3"
  },
  "language_info": {
   "codemirror_mode": {
    "name": "ipython",
    "version": 3
   },
   "file_extension": ".py",
   "mimetype": "text/x-python",
   "name": "python",
   "nbconvert_exporter": "python",
   "pygments_lexer": "ipython3",
   "version": "3.12.9"
  }
 },
 "nbformat": 4,
 "nbformat_minor": 4
}